Historisch gesehen tauchten in der Mathematik endliche Gruppen zusammen mit einer Aktion auf einem Objekt auf, zum Beispiel als Symmetriegruppen von Polygonen oder Polytopen. Wir werden in gewissem Sinne die einfachsten Aktionen endlicher Gruppen untersuchen, nämlich die linearen Aktionen auf Vektorräume. Solche Aktionen werden als Repräsentationen endlicher Gruppen bezeichnet. Wir werden nur Darstellungen in komplexen Vektorräumen berücksichtigen.

Vorläufiges Programm:

Allgemeines über lineare Darstellungen, irreduzible Darstellungen und Bedienung von Darstellungen. Charaktertheorie, Schurs Lemma, Zerlegung von Darstellungen. Untergruppen und induzierte Darstellungen. Explizite Beispiele. Darstellungen der symmetrischen Gruppe.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory - A First Course, GTM 129

Lineare Algebra I

 Die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen war eine der größten Errungenschaften der Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts. Nach dem Jordan Hölder-Satz hat jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe, die aus endlichen einfachen Gruppen besteht. So können endliche einfache Gruppen als Bausteine für alle endlichen Gruppen angesehen werden. Gemäß dem Klassifikationssatz ist eine endliche nicht-abelianische einfache Gruppe entweder eine alternierende Gruppe oder eine einfache Gruppe vom Typ Lie oder eine der 26 sporadischen Gruppen, die nicht zu einer unendlichen Familie gehören. In diesem Seminar wird die Theorie der einfachen Gruppen vom Typ Lie als Gruppen Automorphismen der einfachen Lie-Algebren von den Grundlagen her diskutiert. Die klassischen einfachen Gruppen werden vorgestellt und dann werden Wurzelsysteme und Weylgruppen, Chevalley-Gruppen und deren Struktur untersucht. Nachdem wir uns mit Automorphismen von Chevalley-Gruppen beschäftigt haben, werden wir am Ende des Seminars einige geometrische Strukturen vorstellen, die mit einfachen Gruppen vom Typ Lie verbunden sind.

Lehrbuch: Einfache Gruppen vom Lügentyp, Roger Carter, Reine und Angewandte Mathematik Band XXVIII, 1972

 Seminarplan:  Ein detaillierter Plan der Gespräche wird nach dem ersten Treffen vorliegen. 1. Treffen: Es werden die klassischen einfachen Gruppen vorgestellt (K. Ersoy).

2. Treffen: Weyl-Gruppen und Wurzelsystem. Abstrakte Wurzelsysteme, Grundsysteme, Längenfunktion, Definitionen durch Generatoren und Beziehungen und Kammersysteme.

Drittes Treffen: Einfache Lie-Algebren, Subalgebren, Cartan-Zerlegung, Wurzeln einer einfachen Lie-Algebra, Dynkin-Diagramme, Beschreibungen einfacher Lie-Algebren, Existenz- und Isomorphentheoreme

4. Sitzung: Chevalley-Gruppen, Chevalley-Basis, Strukturkonstanten, die Exponentialkarte, Algebren über beliebigen Feldern, die Gruppen A_1(K)

5. Sitzung: Unipotente Untergruppen, Chevalley Kommutator Formel.

6. Treffen: Root SL(2,K)-Subgruppen, ihre Homomorphismen

Der Rest des Plans wird nach dem ersten Treffen bekannt gegeben.

Organisation:  Dies ist ein Seminar, in dem die Teilnehmer die Vorträge halten; für Richtlinien zur Vorbereitung Ihres Vortrags siehe auf den Seminarplan. Bitte senden Sie mir eine E-Mail (ersoy@zedat.fu-berlin.de), wenn Sie eines der Vorträge reservieren möchten oder Fragen haben. 

Voraussetzungen:  Lineare Algebra.

Grundlagen der Nichtstandard-Analysis (nach Nelson)

In der Analysis wird das Rechnen mit in?nitesimalen Groessen durch den Grenzwertbegri? formalisiert. Robinson hat den Koerper der reellen Zahlen so erweitert, dass er in?nitesimale Elemente enthaelt, d.h. positive Zahlen, die kleiner als alle positiven reellen Zahlen sind. Nelson hat spaeter beobachtet, dass man die Axiome der Mengenlehre so erweitern kann, dass der "uebliche Koerper" der reellen Zahlen "Standard-" und "Nichtstandard-Elemente" enthaelt. Unter den Nichtstandard-Elementen ?nden sich dabei wieder solche, die positiv und kleiner als alle positiven Standard-Elemente sind.

Im Proseminar wird besprochen, wie mit Hilfe der in?nitesimalen Elemente die grundlegenden Aussagen der Analysis neu formuliert und bewiesen werden koennen.

Das Proseminar gliedert sich in folgende Abschnitte:

I. Logische Grundlagen der NSA

II. Analysis I in der Sprache der NSA

III. Fortgeschrittene Anwendungen der NSA

IV. Ein Blick auf Robinsons NSA

Homepage Prof. Schmitt

[1]    D. Landers, L. Rogge, Nichtstandard Analysis, Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag, Berlin, 1994, x+485 S.
[2]    A.M. Robert, Nonstandard analysis, revised reprint of the 1988 translation, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2003, xx+156 S.
[3]    H.-P. Tuschik, H. Wolter, Mathematische Logik—kurzgefaßt. Grundlagen, Modelltheorie, Entscheidbarkeit, Mengenlehre., 2. Au?., Spektrum Hochschultaschenbuch, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2002, viii+214 S.

Unbedingt zur Seminarvorbereitung lesen:

M. Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?

 Die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen war eine der größten Errungenschaften der Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts. Nach dem Jordan Hölder-Satz hat jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe, die aus endlichen einfachen Gruppen besteht. So können endliche einfache Gruppen als Bausteine für alle endlichen Gruppen angesehen werden. Gemäß dem Klassifikationssatz ist eine endliche nicht-abelianische einfache Gruppe entweder eine alternierende Gruppe oder eine einfache Gruppe vom Typ Lie oder eine der 26 sporadischen Gruppen, die nicht zu einer unendlichen Familie gehören. In diesem Seminar wird die Theorie der einfachen Gruppen vom Typ Lie als Gruppen Automorphismen der einfachen Lie-Algebren von den Grundlagen her diskutiert. Die klassischen einfachen Gruppen werden vorgestellt und dann werden Wurzelsysteme und Weylgruppen, Chevalley-Gruppen und deren Struktur untersucht. Nachdem wir uns mit Automorphismen von Chevalley-Gruppen beschäftigt haben, werden wir am Ende des Seminars einige geometrische Strukturen vorstellen, die mit einfachen Gruppen vom Typ Lie verbunden sind.

Lehrbuch: Einfache Gruppen vom Lügentyp, Roger Carter, Reine und Angewandte Mathematik Band XXVIII, 1972

 Seminarplan:  Ein detaillierter Plan der Gespräche wird nach dem ersten Treffen vorliegen. 1. Treffen: Es werden die klassischen einfachen Gruppen vorgestellt (K. Ersoy).

2. Treffen: Weyl-Gruppen und Wurzelsystem. Abstrakte Wurzelsysteme, Grundsysteme, Längenfunktion, Definitionen durch Generatoren und Beziehungen und Kammersysteme.

Drittes Treffen: Einfache Lie-Algebren, Subalgebren, Cartan-Zerlegung, Wurzeln einer einfachen Lie-Algebra, Dynkin-Diagramme, Beschreibungen einfacher Lie-Algebren, Existenz- und Isomorphentheoreme

4. Sitzung: Chevalley-Gruppen, Chevalley-Basis, Strukturkonstanten, die Exponentialkarte, Algebren über beliebigen Feldern, die Gruppen A_1(K)

5. Sitzung: Unipotente Untergruppen, Chevalley Kommutator Formel.

6. Treffen: Root SL(2,K)-Subgruppen, ihre Homomorphismen

Der Rest des Plans wird nach dem ersten Treffen bekannt gegeben.

Organisation:  Dies ist ein Seminar, in dem die Teilnehmer die Vorträge halten; für Richtlinien zur Vorbereitung Ihres Vortrags siehe auf den Seminarplan. Bitte senden Sie mir eine E-Mail (ersoy@zedat.fu-berlin.de), wenn Sie eines der Vorträge reservieren möchten oder Fragen haben. 

Voraussetzungen:  Lineare Algebra.

Grundlagen der Nichtstandard-Analysis (nach Nelson)

In der Analysis wird das Rechnen mit in?nitesimalen Groessen durch den Grenzwertbegri? formalisiert. Robinson hat den Koerper der reellen Zahlen so erweitert, dass er in?nitesimale Elemente enthaelt, d.h. positive Zahlen, die kleiner als alle positiven reellen Zahlen sind. Nelson hat spaeter beobachtet, dass man die Axiome der Mengenlehre so erweitern kann, dass der "uebliche Koerper" der reellen Zahlen "Standard-" und "Nichtstandard-Elemente" enthaelt. Unter den Nichtstandard-Elementen ?nden sich dabei wieder solche, die positiv und kleiner als alle positiven Standard-Elemente sind.

Im Proseminar wird besprochen, wie mit Hilfe der in?nitesimalen Elemente die grundlegenden Aussagen der Analysis neu formuliert und bewiesen werden koennen.

Das Proseminar gliedert sich in folgende Abschnitte:

I. Logische Grundlagen der NSA

II. Analysis I in der Sprache der NSA

III. Fortgeschrittene Anwendungen der NSA

IV. Ein Blick auf Robinsons NSA

Homepage Prof. Schmitt

[1]    D. Landers, L. Rogge, Nichtstandard Analysis, Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag, Berlin, 1994, x+485 S.
[2]    A.M. Robert, Nonstandard analysis, revised reprint of the 1988 translation, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2003, xx+156 S.
[3]    H.-P. Tuschik, H. Wolter, Mathematische Logik—kurzgefaßt. Grundlagen, Modelltheorie, Entscheidbarkeit, Mengenlehre., 2. Au?., Spektrum Hochschultaschenbuch, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2002, viii+214 S.

Unbedingt zur Seminarvorbereitung lesen:

M. Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?

Historisch gesehen tauchten in der Mathematik endliche Gruppen zusammen mit einer Aktion auf einem Objekt auf, zum Beispiel als Symmetriegruppen von Polygonen oder Polytopen. Wir werden in gewissem Sinne die einfachsten Aktionen endlicher Gruppen untersuchen, nämlich die linearen Aktionen auf Vektorräume. Solche Aktionen werden als Repräsentationen endlicher Gruppen bezeichnet. Wir werden nur Darstellungen in komplexen Vektorräumen berücksichtigen.

Vorläufiges Programm:

Allgemeines über lineare Darstellungen, irreduzible Darstellungen und Bedienung von Darstellungen. Charaktertheorie, Schurs Lemma, Zerlegung von Darstellungen. Untergruppen und induzierte Darstellungen. Explizite Beispiele. Darstellungen der symmetrischen Gruppe.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory - A First Course, GTM 129

Lineare Algebra I

 Die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen war eine der größten Errungenschaften der Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts. Nach dem Jordan Hölder-Satz hat jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe, die aus endlichen einfachen Gruppen besteht. So können endliche einfache Gruppen als Bausteine für alle endlichen Gruppen angesehen werden. Gemäß dem Klassifikationssatz ist eine endliche nicht-abelianische einfache Gruppe entweder eine alternierende Gruppe oder eine einfache Gruppe vom Typ Lie oder eine der 26 sporadischen Gruppen, die nicht zu einer unendlichen Familie gehören. In diesem Seminar wird die Theorie der einfachen Gruppen vom Typ Lie als Gruppen Automorphismen der einfachen Lie-Algebren von den Grundlagen her diskutiert. Die klassischen einfachen Gruppen werden vorgestellt und dann werden Wurzelsysteme und Weylgruppen, Chevalley-Gruppen und deren Struktur untersucht. Nachdem wir uns mit Automorphismen von Chevalley-Gruppen beschäftigt haben, werden wir am Ende des Seminars einige geometrische Strukturen vorstellen, die mit einfachen Gruppen vom Typ Lie verbunden sind.

Lehrbuch: Einfache Gruppen vom Lügentyp, Roger Carter, Reine und Angewandte Mathematik Band XXVIII, 1972

 Seminarplan:  Ein detaillierter Plan der Gespräche wird nach dem ersten Treffen vorliegen. 1. Treffen: Es werden die klassischen einfachen Gruppen vorgestellt (K. Ersoy).

2. Treffen: Weyl-Gruppen und Wurzelsystem. Abstrakte Wurzelsysteme, Grundsysteme, Längenfunktion, Definitionen durch Generatoren und Beziehungen und Kammersysteme.

Drittes Treffen: Einfache Lie-Algebren, Subalgebren, Cartan-Zerlegung, Wurzeln einer einfachen Lie-Algebra, Dynkin-Diagramme, Beschreibungen einfacher Lie-Algebren, Existenz- und Isomorphentheoreme

4. Sitzung: Chevalley-Gruppen, Chevalley-Basis, Strukturkonstanten, die Exponentialkarte, Algebren über beliebigen Feldern, die Gruppen A_1(K)

5. Sitzung: Unipotente Untergruppen, Chevalley Kommutator Formel.

6. Treffen: Root SL(2,K)-Subgruppen, ihre Homomorphismen

Der Rest des Plans wird nach dem ersten Treffen bekannt gegeben.

Organisation:  Dies ist ein Seminar, in dem die Teilnehmer die Vorträge halten; für Richtlinien zur Vorbereitung Ihres Vortrags siehe auf den Seminarplan. Bitte senden Sie mir eine E-Mail (ersoy@zedat.fu-berlin.de), wenn Sie eines der Vorträge reservieren möchten oder Fragen haben. 

Voraussetzungen:  Lineare Algebra.

Grundlagen der Nichtstandard-Analysis (nach Nelson)

In der Analysis wird das Rechnen mit in?nitesimalen Groessen durch den Grenzwertbegri? formalisiert. Robinson hat den Koerper der reellen Zahlen so erweitert, dass er in?nitesimale Elemente enthaelt, d.h. positive Zahlen, die kleiner als alle positiven reellen Zahlen sind. Nelson hat spaeter beobachtet, dass man die Axiome der Mengenlehre so erweitern kann, dass der "uebliche Koerper" der reellen Zahlen "Standard-" und "Nichtstandard-Elemente" enthaelt. Unter den Nichtstandard-Elementen ?nden sich dabei wieder solche, die positiv und kleiner als alle positiven Standard-Elemente sind.

Im Proseminar wird besprochen, wie mit Hilfe der in?nitesimalen Elemente die grundlegenden Aussagen der Analysis neu formuliert und bewiesen werden koennen.

Das Proseminar gliedert sich in folgende Abschnitte:

I. Logische Grundlagen der NSA

II. Analysis I in der Sprache der NSA

III. Fortgeschrittene Anwendungen der NSA

IV. Ein Blick auf Robinsons NSA

Homepage Prof. Schmitt

[1]    D. Landers, L. Rogge, Nichtstandard Analysis, Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag, Berlin, 1994, x+485 S.
[2]    A.M. Robert, Nonstandard analysis, revised reprint of the 1988 translation, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2003, xx+156 S.
[3]    H.-P. Tuschik, H. Wolter, Mathematische Logik—kurzgefaßt. Grundlagen, Modelltheorie, Entscheidbarkeit, Mengenlehre., 2. Au?., Spektrum Hochschultaschenbuch, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2002, viii+214 S.

Unbedingt zur Seminarvorbereitung lesen:

M. Lehn: Wie halte ich einen Seminarvortrag?

Historisch gesehen tauchten in der Mathematik endliche Gruppen zusammen mit einer Aktion auf einem Objekt auf, zum Beispiel als Symmetriegruppen von Polygonen oder Polytopen. Wir werden in gewissem Sinne die einfachsten Aktionen endlicher Gruppen untersuchen, nämlich die linearen Aktionen auf Vektorräume. Solche Aktionen werden als Repräsentationen endlicher Gruppen bezeichnet. Wir werden nur Darstellungen in komplexen Vektorräumen berücksichtigen.

Vorläufiges Programm:

Allgemeines über lineare Darstellungen, irreduzible Darstellungen und Bedienung von Darstellungen. Charaktertheorie, Schurs Lemma, Zerlegung von Darstellungen. Untergruppen und induzierte Darstellungen. Explizite Beispiele. Darstellungen der symmetrischen Gruppe.

W. Fulton, J. Harris, Representation Theory - A First Course, GTM 129

Lineare Algebra I

 Die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen war eine der größten Errungenschaften der Gruppentheorie des 20. Jahrhunderts. Nach dem Jordan Hölder-Satz hat jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe, die aus endlichen einfachen Gruppen besteht. So können endliche einfache Gruppen als Bausteine für alle endlichen Gruppen angesehen werden. Gemäß dem Klassifikationssatz ist eine endliche nicht-abelianische einfache Gruppe entweder eine alternierende Gruppe oder eine einfache Gruppe vom Typ Lie oder eine der 26 sporadischen Gruppen, die nicht zu einer unendlichen Familie gehören. In diesem Seminar wird die Theorie der einfachen Gruppen vom Typ Lie als Gruppen Automorphismen der einfachen Lie-Algebren von den Grundlagen her diskutiert. Die klassischen einfachen Gruppen werden vorgestellt und dann werden Wurzelsysteme und Weylgruppen, Chevalley-Gruppen und deren Struktur untersucht. Nachdem wir uns mit Automorphismen von Chevalley-Gruppen beschäftigt haben, werden wir am Ende des Seminars einige geometrische Strukturen vorstellen, die mit einfachen Gruppen vom Typ Lie verbunden sind.

Lehrbuch: Einfache Gruppen vom Lügentyp, Roger Carter, Reine und Angewandte Mathematik Band XXVIII, 1972

 Seminarplan:  Ein detaillierter Plan der Gespräche wird nach dem ersten Treffen vorliegen. 1. Treffen: Es werden die klassischen einfachen Gruppen vorgestellt (K. Ersoy).

2. Treffen: Weyl-Gruppen und Wurzelsystem. Abstrakte Wurzelsysteme, Grundsysteme, Längenfunktion, Definitionen durch Generatoren und Beziehungen und Kammersysteme.

Drittes Treffen: Einfache Lie-Algebren, Subalgebren, Cartan-Zerlegung, Wurzeln einer einfachen Lie-Algebra, Dynkin-Diagramme, Beschreibungen einfacher Lie-Algebren, Existenz- und Isomorphentheoreme

4. Sitzung: Chevalley-Gruppen, Chevalley-Basis, Strukturkonstanten, die Exponentialkarte, Algebren über beliebigen Feldern, die Gruppen A_1(K)

5. Sitzung: Unipotente Untergruppen, Chevalley Kommutator Formel.

6. Treffen: Root SL(2,K)-Subgruppen, ihre Homomorphismen

Der Rest des Plans wird nach dem ersten Treffen bekannt gegeben.

Organisation:  Dies ist ein Seminar, in dem die Teilnehmer die Vorträge halten; für Richtlinien zur Vorbereitung Ihres Vortrags siehe auf den Seminarplan. Bitte senden Sie mir eine E-Mail (ersoy@zedat.fu-berlin.de), wenn Sie eines der Vorträge reservieren möchten oder Fragen haben. 

Voraussetzungen:  Lineare Algebra.