Zielgruppe: B.Sc./M.Sc. Mathematik und M.Sc. Physik
Die Vorlesung richtet sich vorrangig an Studierende mit Ziel
B.Sc. oder M.Sc. Mathematik, eignet sich aber auch als Wahlfach für
Physikstudenten. Die begleitende Übung ist verpflichtend und stellt
inhaltlich eine wesentliche Ergänzung dar. Die Vorlesung wird nach
Absprache auf Deutsch oder Englisch gehalten, das Skript ist auf Englisch.
Voraussetzungen: Stochastik I, relle und komplexe Analysis, lineare Algebra
Inhalt: Die Vorlesung gibt eine Einführung in stochastische Prozesse
mit Anwendungen in den Naturwissenschaften. Wir werden zunächst eine
wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung stochastischer Prozesse
entwickeln, um diese dann für Gaußsche Prozesse und Markovketten zu
vertiefen. Das "mikroskopische" Gegenstück zu dieser Beschreibung
bilden stochastische Differentialgleichungen, mit denen sich die
Zufallspfade vieler stetiger Prozesse darstellen lassen. Eine wichtige
Klasse sind Diffusionsprozesse mit ihren zahlreichen Anwendungen. Die
grobe Struktur der Vorlesung ist wie folgt:
1. Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
(etwas Maßtheorie und Lebesgue-Integral, bedingte Erwartung, erzeugende Funktionen)
2. Stochastische Prozesse und Korrelationsfunktionen
(Gaußsche Prozesse, Wiener-Khinchin-Theorem, Brownsche Bewegung, Martingale)
3. Markovketten
(Satz von Perron-Frobenius, Mastergleichung, Gleichgewicht, Metropolis-Hastings-Algorithmus)
4. Stochastische Differentialgleichungen
(Ito-Integral und -kalkül, Stratonovich-Integral, stetige Martingale, Ito-Diffusion)
5. Diffusionsprozesse
(infinitesimaler Erzeuger, Fokker-Planck-Gleichung, Dynkin-Formel, First-exit-time-Probleme, Randwertprobleme)