There will a block course component Mon/Tue Oct 14/15 all day!

This course is associated with the Thematic Einstein Semester (TES) Varieties, Polyhedra, Computation organised within the framework of the Berlin Mathematics Research Center MATH+ and supported by the Einstein Foundation Berlin.
Solving systems of polynomial equations over the real or complex numbers is a basic, ubiquitous, and highly relevant mathematical task. Over the past two decades, there has been dramatic progress in our ability to practically solve polynomial systems and explore their solution sets.
This course will center around a specific approach to solving sets of polynomial equations: numerical homotopy continuation. Numerical methods are particularly appealing  for “large” problems due to their speed in computations. However, numerical computations only yields approximate solutions, the output is not exact. This is why, traditionally, homotopy continuation has been considered as a branch of applied mathematics.  For instance, homotopy continuation is a popular tool in computing the solutions of kinematic problems in engineering.
In this course, Students will learn to solve their own systems with the Julia package HomotopyContinuation.jl. Next to solving problems from application, they will also learn how output from numerical homotopy continuation can be used in rigorous mathematical proofs. For instance, an instance of the famous 3264 conics tangent to five given conics was computed using HomotopyContinuation.jl, and all its tangential conics where proven to be real.
Students work on projects involving the solution of polynomial systems. They present their programs and solutions in conjunction with the Milestones Conference of the TES in February.

 

 

Dieser Kurs ist mit den Thematischen Einstein Semester (TES) Varieties, Polyhedra, Computation verbunden, die im Rahmen des Berliner Mathematik-Forschungszentrums MATH+ organisiert und von der Einstein-Stiftung Berlin unterstützt werden.

Die Lösung von Systemen polynomieller Gleichungen über die realen oder komplexen Zahlen ist eine grundlegende, allgegenwärtige und hochrelevante mathematische Aufgabe. In den letzten zwei Jahrzehnten hat es dramatische Fortschritte in unserer Fähigkeit gegeben, Polynomsysteme praktisch zu lösen und ihre Lösungsansätze zu erforschen.

Dieser Kurs konzentriert sich auf einen spezifischen Ansatz zur Lösung von Polynomgleichungen: die Fortsetzung der numerischen Homotopie. Numerische Verfahren sind aufgrund ihrer Rechengeschwindigkeit besonders für "große" Probleme interessant. Numerische Berechnungen ergeben jedoch nur ungefähre Lösungen, die Ausgabe ist nicht exakt. Aus diesem Grund wurde die Fortsetzung der Homotopie traditionell als ein Zweig der angewandten Mathematik angesehen.  Zum Beispiel ist die Homotopie-Fortsetzung ein beliebtes Werkzeug zur Berechnung der Lösungen kinematischer Probleme im Maschinenbau.

In diesem Kurs lernen die Teilnehmer, ihre eigenen Systeme mit dem Julia-Paket HomotopyContinuation.jl zu lösen. Neben der Lösung von Problemen aus der Anwendung werden sie auch lernen, wie die Ergebnisse der numerischen Homotopie-Fortsetzung in strengen mathematischen Nachweisen verwendet werden können. Zum Beispiel wurde eine Instanz der berühmten 3264 Kegel, die an fünf gegebenen Kegeln tangieren, mit HomotopyContinuation.jl berechnet, und alle ihre tangentialen Kegel wurden als real erwiesen.

Die Studierenden arbeiten an Projekten zur Lösung von Polynomsystemen. Sie präsentieren ihre Programme und Lösungen im Rahmen der Milestones Conference der TES im Februar.

 

Zusätzliche Informationen

 

Es gibt eine Blockkurs-Komponente Mo/Di 14./15. Oktober den ganzen Tag!

Falls vorhanden, bringen Sie Ihren eigenen Laptop mit.