Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geometry I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

Function theory is a classical field of mathematics, which deals with the properties of complex-differentiable functions on the complex number plane and has connections to algebra, analysis, number theory and geometry.

The concept of complex differentiability restricts real-differentiable functions from R2 to R2 to angle-preserving images. We will discover that complex-differentiable functions are quite rigid objects, but they are endowed with many amazing analytical, geometric, and visual properties.

A major result discussed in this lecture is Cauchy's integral theorem which states that the integral of any complexly differentiable function along a closed path in the complex plane is zero. We will see many nice consequences of this result, e.g. Cauchy's integral formula, the residual theorem and a proof of the fundamental theorem of algebra, as well as modern graphical representation methods.

Literatur:

E. Freitag and R. Busam 'Complex analysis', (Springer) 2nd Edition 2009 (the original German version is called 'Funktionentheorie')

Contents:

• Construction of stochastic processes;
• conditional expectation;
• martingales in discrete time: convergence, stopping theorems, inequalities;
• convergence types in stochastics;
• uniform integrability;
• Markov chains in discrete and continuous time: recurrence and transience, invariant measures;
• convergence in distribution of stochatic processes;
• Brownian motion and invariance principle.

Detailed Information can be found on the Homepage of 19212901 Basismodul: Stochastics II.

• Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie
• Durrett: Probability. Theory and Examples.

Weitere Literatur wird im Lauf der Vorlesung bekannt gegeben.
Further literature will be given during the lecture.

Prerequisite: Stochastics I  and  Analysis I — III.

Inhalt

• This course is the sequel of the course of Stochastics I. The main objective is to go beyond the first principles in probability theory by introducing the general language of measure theory, and the application of this framework in a wide variety of probabilistic scenarios.
  More precisely, the course will cover the following aspects of probability theory:
• Measure theory and the Lebesgue integral
• Convergence of random variables and 0-1 laws
• Generating functions: branching processes and characteristic functions
• Markov chains
• Introduction to martingales

Content:

Selection from the following topics:

• Enumeration (twelvefold way, inclusion-exclusion, double counting, recursions, generating functions, inversion, Ramsey's Theorem, asymptotic counting)
• Discrete Structures (graphs, set systems, designs, posets, matroids)
• Graph Theory (trees, matchings, connectivity, planarity, colorings)

• J. Matousek, J. Nesetril (2002/2007): An Invitation to Discrete Mathematics, Oxford University Press, Oxford/Diskrete Mathematik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg.
• L. Lovasz, J. Pelikan, K. Vesztergombi (2003): Discrete Mathemtics - Elementary and Beyond/Diskrete Mathematik, Springer Verlag, New York.
• N. Biggs (2004): Discrete Mathematics. Oxford University Press, Oxford.
• M. Aigner (2004/2007): Diskrete Mathematik, Vieweg Verlag, Wiesbaden/Discrete Mathemattics, American Mathematical Society, USA.
• D. West (2011): Introduction to Graph Theory. Pearson Education, New York.

Target group:

BMS students, Master and Bachelor students

Content:

Selection from the following topics:

• Counting (basics, double counting, Pigeonhole Principle, recursions, generating functions, Inclusion-Exclusion, inversion, Polya theory)
• Discrete Structures (graphs, set systems, designs, posets, matroids)
• Graph Theory (trees, matchings, connectivity, planarity, colorings)
• Algorithms (asymptotic running time, BFS, DFS, Dijkstra, Greedy, Kruskal, Hungarian, Ford-Fulkerson)

Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geometry I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

Leitidee

Ziel der Veranstaltung ist es, einen Überblick über die Bedeutung und Anwendbarkeit diverser mathematischer Gebiete im Kontext von Nachhaltigkeit zu bekommen. Ferner soll dies anhand kleinerer Probleme selbst angewendet werden können. Mathematik ist bekanntermaßen überall und besitzt eine hohe gesellschaftliche Relevanz. Insbesondere im Kontext Nachhaltigkeit sollten wir als mathematische Community Verantwortung übernehmen, einen lebenswerten Planeten zu erhalten und unsere Erkenntnisse, Methoden, Verfahren etc. gemeinwohlorientiert einzusetzen. Dies involviert auch die Aufbereitung und Kommunikation der behandelten mathematischen Themenbereiche.

Inhaltliche Schwerpunkte

Wir werden eine Einführung in die vier mathematischen Bereiche Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme geben.  Mittels mathematischer Modellierung werden wir identifizieren, wie diese Bereiche zum Verständnis und mit Lösungsansätzen zu Klimakrise, Verlust von Biodiversität, Ressourcenverknappung und sozialer Ungleichheit beitragen.

Methodische Konzeption

Diese Veranstaltung wird durch ein zeitgemäßes didaktisches Konzept begleitet. Dazu gehört unter anderem student agency und co-agency. Dies bedeutet, dass Lernende Verantwortung für ihren Lernerfolg und Kompetenzzuwachs übernehmen, dabei aber natürlich nicht auf sich alleine gestellt sind, sondern auf diverse inhaltliche bzw. methodische Ressourcen zurückgreifen können.

Grundsätzlich gliedert sich die Veranstaltung in zwei wöchentliche Blöcke:

• Donnerstag 10–12 Uhr
  Die Vorlesungstermine dienen der kompakten Aufbereitung mathematischer Gebiete und bilden damit die fundamentale Grundlage für die Projektarbeit. Wir geben damit einen Einblick in diverse mathematische Gebiete und ihrem Anwendungsbezug.
• Montag 10 – 14 Uhr
  Die Projektarbeitsphase dient dem agilen Arbeiten in Kleingruppen, welche über das Semester verteilt mehrere Anwendungen von Mathematik in SDG-Kontext erarbeiten und aufbereiten. Dabei wird sich an der Methode eduSCRUM orientiert, um über das Semester verteilt in mehreren agilen Sprints über jeweils 2-3 Wochen fokussiert zu arbeiten. Erfahrungen im agilen Arbeiten werden nicht vorausgesetzt, hierzu gibt es eine methodische Prozessbegleitung. Die erarbeiteten Anwendungsszenarien sollen dabei jeweils passend zu den vier inhaltlichen Themenblöcken der Veranstaltung gestaltet werden, wobei die Kleingruppen durch den Einbau partizipativer Elemente an diversen Stellen Gestaltungsspielraum haben.

Lernziele

Die übergeordneten Lernziele dieser Veranstaltung verteilen sich auf fünf Bereiche: Mathematische Grundlagen verstehen und anwenden, Mathematische Modelle anwenden, Modelle beurteilen, Kommunikation von Mathematik im SDG-Kontext & Reflexion des eigenen Lernprozesses.

Nach erfolgreicher Teilnahme an der Veranstaltung haben Teilnehmer*innen die folgenden Kompetenzen erlangt:

• Sie verstehen die Bedeutung grundlegender mathematischer Konzepte und Verfahren (aus Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme). Insbesondere können sie die Terminologie und mathematischen Aussagen präzise erklären und Anwendungsgebiete anhand ausgewählter inner- und außermathematischer Problemstellungen erläutern.
• Sie können mathematische Modelle nutzen, um reale Fragestellungen zu beschreiben und zu analysieren.  Dabei können sie verschiedene mathematische Werkzeuge und Techniken verwenden, um qualitative und quantitative Aussagen über die Auswirkungen von Entscheidungen und Maßnahmen zu treffen.
• Sie können die Gültigkeit, Angemessenheit und Grenzen mathematischer Modelle beurteilen, indem sie etwa Modellannahmen, verwendete Daten oder Sensitivität der Ergebnisse analysieren, um fundierte Entscheidungen über die Nutzung dieser Modelle im Bereich nachhaltiger Entwicklung zu treffen.
• Die Ergebnisse mathematischer Analysen und Modelle können klar und prägnant an verschiedene Zielgruppen unter Nutzung verschiedener Medien und Formate kommuniziert werden. Dies geschieht mit dem Ziel, das gesellschaftliche Bewusstsein für die Bedeutung von Mathematik für BNE sowie transformative Prozesse zu fördern.
• Sie können die eigenen Lernerfahrungen reflektieren, indem sie individuelle Stärken, Lernstrategien, Einstellungen zur Mathematik und ihr mathematisches Selbstkonzept analysieren, um ihre mathematischen Kompetenzen weiterzuentwickeln und so später ihre Rolle als mündige und verantwortungsvolle Bürger*innen in der Gesellschaft auszufüllen.

Formalia & Organisatorisches

a) Für die regelmäßige Teilnahme ist regelmäßig und in Präsenz an den Terminen montags 10-14 Uhr teilzunehmen.

b) Die aktive Teilnahme an der Projektarbeit besteht aus mehreren Aspekten, die über das Semester verteilt in Kleingruppen bearbeitet werden:

• Im Rahmen der eduSCRUM-Sprints sollen in den Gruppen vier Anwendungsszenarien erarbeitet werden, wobei mindestens drei der vier Themenblöcke abgedeckt werden sollen.
• Um die Qualität der erarbeiteten Anwendungsszenarien zu sichern, führen die Gruppen untereinander ein Peer-Review-Verfahren durch.
• Dazu werden kleinere reale Probleme als Aufhänger und Ausgangspunkt für die Gruppenarbeit ausgewählt.
• Wöchentlich wird eine kleine mathematische Aufgabe als Challenge veröffentlicht. Jede Gruppe wird dabei eines der Probleme aus dem jeweiligen Themenblock lösen.

c) Modulabschlussprüfung: Die Veranstaltung kann entweder als „Mathematisches Projekt“ oder alternativ als mathematisch Spezial- bzw. Vertiefungsvorlesung belegt werden. (Dies geschieht, um Ihnen bei Interesse am Thema „Mathematik und Nachhaltigkeit“ größtmögliche Flexibilität und Anrechenbarkeit zu ermöglichen.) Beide Module entsprechen vom Workload-Umfang 10 LP, unterscheiden sich jedoch minimal in der Abschlussprüfung.

• Mathematisches Projekt: Aufbauend auf Ihrer in Kleingruppen erfolgten Projektarbeiten findet am Ende ein ca. halbstündiger Vortrag zu einem mathematischen Thema statt. Die Themen werden einige Tage vor der Prüfung zugeteilt, sodass Sie sich als Gruppe vorbereiten können. Zusätzlich zum Vortrag schreiben Sie eine Ausarbeitung im Umfang von ca. 2.500 Wörtern, in der u.a. Ihr persönlicher Beitrag zur Projektarbeit vorgestellt und reflektiert wird. Details zum Aufbau der schriftlichen Ausarbeitung werden in der Lehrveranstaltung bekanntgegeben.
• Vertiefungsvorlesung: Je nachdem, wie viele Studierende welchen Schein absolvieren möchten, werden wir für dieses Modulabschlussprüfungen eine Klausur oder mündliche Einzelprüfungen durchführen. Die Details werden bekanntgegeben, sobald bekannt ist, wie viele Studierende sich für welches Modul eingeschrieben haben.

Weitere Hinweise

Hinweis für Lehramts-Masterstudierende: Ergänzend zu dieser Veranstaltung findet ein fachdidaktisches Vertiefungsseminar (LV 19230015) statt. Dort werden digitale offene Bildungsmaterialien (OER) erstellt, mit denen die Bedeutung der Mathematik zur Erreichung der 17 Sustainable Development Goals vermittelt werden kann.

The course provides an introduction to fundamental methods and principles in visualization for mathematics, data science and industrial applications. We discuss mathematical foundations and data structures and present several core algorithms and tools.

Leitidee

Ziel der Veranstaltung ist es, einen Überblick über die Bedeutung und Anwendbarkeit diverser mathematischer Gebiete im Kontext von Nachhaltigkeit zu bekommen. Ferner soll dies anhand kleinerer Probleme selbst angewendet werden können. Mathematik ist bekanntermaßen überall und besitzt eine hohe gesellschaftliche Relevanz. Insbesondere im Kontext Nachhaltigkeit sollten wir als mathematische Community Verantwortung übernehmen, einen lebenswerten Planeten zu erhalten und unsere Erkenntnisse, Methoden, Verfahren etc. gemeinwohlorientiert einzusetzen. Dies involviert auch die Aufbereitung und Kommunikation der behandelten mathematischen Themenbereiche.

Inhaltliche Schwerpunkte

Wir werden eine Einführung in die vier mathematischen Bereiche Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme geben.  Mittels mathematischer Modellierung werden wir identifizieren, wie diese Bereiche zum Verständnis und mit Lösungsansätzen zu Klimakrise, Verlust von Biodiversität, Ressourcenverknappung und sozialer Ungleichheit beitragen.

Methodische Konzeption

Diese Veranstaltung wird durch ein zeitgemäßes didaktisches Konzept begleitet. Dazu gehört unter anderem student agency und co-agency. Dies bedeutet, dass Lernende Verantwortung für ihren Lernerfolg und Kompetenzzuwachs übernehmen, dabei aber natürlich nicht auf sich alleine gestellt sind, sondern auf diverse inhaltliche bzw. methodische Ressourcen zurückgreifen können.

Grundsätzlich gliedert sich die Veranstaltung in zwei wöchentliche Blöcke:

• Donnerstag 10–12 Uhr
  Die Vorlesungstermine dienen der kompakten Aufbereitung mathematischer Gebiete und bilden damit die fundamentale Grundlage für die Projektarbeit. Wir geben damit einen Einblick in diverse mathematische Gebiete und ihrem Anwendungsbezug.
• Montag 10 – 14 Uhr
  Die Projektarbeitsphase dient dem agilen Arbeiten in Kleingruppen, welche über das Semester verteilt mehrere Anwendungen von Mathematik in SDG-Kontext erarbeiten und aufbereiten. Dabei wird sich an der Methode eduSCRUM orientiert, um über das Semester verteilt in mehreren agilen Sprints über jeweils 2-3 Wochen fokussiert zu arbeiten. Erfahrungen im agilen Arbeiten werden nicht vorausgesetzt, hierzu gibt es eine methodische Prozessbegleitung. Die erarbeiteten Anwendungsszenarien sollen dabei jeweils passend zu den vier inhaltlichen Themenblöcken der Veranstaltung gestaltet werden, wobei die Kleingruppen durch den Einbau partizipativer Elemente an diversen Stellen Gestaltungsspielraum haben.

Lernziele

Die übergeordneten Lernziele dieser Veranstaltung verteilen sich auf fünf Bereiche: Mathematische Grundlagen verstehen und anwenden, Mathematische Modelle anwenden, Modelle beurteilen, Kommunikation von Mathematik im SDG-Kontext & Reflexion des eigenen Lernprozesses.

Nach erfolgreicher Teilnahme an der Veranstaltung haben Teilnehmer*innen die folgenden Kompetenzen erlangt:

• Sie verstehen die Bedeutung grundlegender mathematischer Konzepte und Verfahren (aus Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme). Insbesondere können sie die Terminologie und mathematischen Aussagen präzise erklären und Anwendungsgebiete anhand ausgewählter inner- und außermathematischer Problemstellungen erläutern.
• Sie können mathematische Modelle nutzen, um reale Fragestellungen zu beschreiben und zu analysieren.  Dabei können sie verschiedene mathematische Werkzeuge und Techniken verwenden, um qualitative und quantitative Aussagen über die Auswirkungen von Entscheidungen und Maßnahmen zu treffen.
• Sie können die Gültigkeit, Angemessenheit und Grenzen mathematischer Modelle beurteilen, indem sie etwa Modellannahmen, verwendete Daten oder Sensitivität der Ergebnisse analysieren, um fundierte Entscheidungen über die Nutzung dieser Modelle im Bereich nachhaltiger Entwicklung zu treffen.
• Die Ergebnisse mathematischer Analysen und Modelle können klar und prägnant an verschiedene Zielgruppen unter Nutzung verschiedener Medien und Formate kommuniziert werden. Dies geschieht mit dem Ziel, das gesellschaftliche Bewusstsein für die Bedeutung von Mathematik für BNE sowie transformative Prozesse zu fördern.
• Sie können die eigenen Lernerfahrungen reflektieren, indem sie individuelle Stärken, Lernstrategien, Einstellungen zur Mathematik und ihr mathematisches Selbstkonzept analysieren, um ihre mathematischen Kompetenzen weiterzuentwickeln und so später ihre Rolle als mündige und verantwortungsvolle Bürger*innen in der Gesellschaft auszufüllen.

Formalia & Organisatorisches

a) Für die regelmäßige Teilnahme ist regelmäßig und in Präsenz an den Terminen montags 10-14 Uhr teilzunehmen.

b) Die aktive Teilnahme an der Projektarbeit besteht aus mehreren Aspekten, die über das Semester verteilt in Kleingruppen bearbeitet werden:

• Im Rahmen der eduSCRUM-Sprints sollen in den Gruppen vier Anwendungsszenarien erarbeitet werden, wobei mindestens drei der vier Themenblöcke abgedeckt werden sollen.
• Um die Qualität der erarbeiteten Anwendungsszenarien zu sichern, führen die Gruppen untereinander ein Peer-Review-Verfahren durch.
• Dazu werden kleinere reale Probleme als Aufhänger und Ausgangspunkt für die Gruppenarbeit ausgewählt.
• Wöchentlich wird eine kleine mathematische Aufgabe als Challenge veröffentlicht. Jede Gruppe wird dabei eines der Probleme aus dem jeweiligen Themenblock lösen.

c) Modulabschlussprüfung: Die Veranstaltung kann entweder als „Mathematisches Projekt“ oder alternativ als mathematisch Spezial- bzw. Vertiefungsvorlesung belegt werden. (Dies geschieht, um Ihnen bei Interesse am Thema „Mathematik und Nachhaltigkeit“ größtmögliche Flexibilität und Anrechenbarkeit zu ermöglichen.) Beide Module entsprechen vom Workload-Umfang 10 LP, unterscheiden sich jedoch minimal in der Abschlussprüfung.

• Mathematisches Projekt: Aufbauend auf Ihrer in Kleingruppen erfolgten Projektarbeiten findet am Ende ein ca. halbstündiger Vortrag zu einem mathematischen Thema statt. Die Themen werden einige Tage vor der Prüfung zugeteilt, sodass Sie sich als Gruppe vorbereiten können. Zusätzlich zum Vortrag schreiben Sie eine Ausarbeitung im Umfang von ca. 2.500 Wörtern, in der u.a. Ihr persönlicher Beitrag zur Projektarbeit vorgestellt und reflektiert wird. Details zum Aufbau der schriftlichen Ausarbeitung werden in der Lehrveranstaltung bekanntgegeben.
• Vertiefungsvorlesung: Je nachdem, wie viele Studierende welchen Schein absolvieren möchten, werden wir für dieses Modulabschlussprüfungen eine Klausur oder mündliche Einzelprüfungen durchführen. Die Details werden bekanntgegeben, sobald bekannt ist, wie viele Studierende sich für welches Modul eingeschrieben haben.

Weitere Hinweise

Hinweis für Lehramts-Masterstudierende: Ergänzend zu dieser Veranstaltung findet ein fachdidaktisches Vertiefungsseminar (LV 19230015) statt. Dort werden digitale offene Bildungsmaterialien (OER) erstellt, mit denen die Bedeutung der Mathematik zur Erreichung der 17 Sustainable Development Goals vermittelt werden kann.

Welcome to the university and in the exciting field of mathematics! You chose a challenging degree course, which offers you unlimited possibilities. Mathematics is the language of the universe, and studying it means to decipher the secrets behind everything, from the movement of the stars to the software in your smartphones.

In Analysis I you will get acquainted with the basics of mathematics, from natural numbers to more complex topics like differentiation and integration. From optimizing flows of traffic, to understanding financial markets, to developing new technologies -- the abilities that you gain here have real, tangible applications that go far beyond the lecture hall.

The importance of the tutorials and of Zentralübung can’t be stressed enough. In the tutorials you will not only discuss the exercises, but also learn how to explain mathematical concepts to others -- an essential ability in mathematics and beyond. In the Zentralübung we will discuss your questions informally and in an interactive way, which is necessary for a comprehensive understanding.

Good luck on your journey to success!

Literature:

• Bröcker, Theodor: Analysis 1, Spektrum der Wissenschaft-Verlag.
• Forster, Otto: Analysis 1, Vieweg-Verlag.
• Spivak, Michael: Calculus, 4th Edition.

Viele Analysis Bücher sind auch über die Fachbibliothek der FU Berlin elektronisch verfügbar.

Bei Schwierigkeiten mit den Grundbegriffen Menge, Abbildung etc. ist die folgende Ausarbeitung empfehlenswert:

• Scheerer, Hans: Brückenkurs, Skript FU Berlin 2006.

Content:

• Basic terms/concepts: sets, maps, equivalence relations, groups, rings,
• fields
• Linear equation systems: solvability criteria, Gauss algorithm
• Vector spaces: linear independence, generating systems and bases, dimension,
• subspaces, quotient spaces, cross products in R3
• Linear maps: image and rank, relationship to matrices, behaviour under
• change of basis
• Dual vector spaces: multilinear forms, alternating and symmetric bilinear
• forms, relationship to matices, change of basis
• Determinants: Cramer's rule, Eigenvalues and Eigenvectors

Prerequisites:

Participation in the preparatory course (Brückenkurs) is highly recommended.

• Siegfried Bosch, Lineare Algebra, 4. Auflage, Springer-Verlag, 2008;
• Gerd Fischer, Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer-Verlag, 2017;
• Bartel Leendert van der Waerden, Algebra Volume I, 9th Edition, Springer 1993;

Zu den Grundlagen

• Kevin Houston, Wie man mathematisch denkt: Eine Einführung in die mathematische Arbeitstechnik für Studienanfänger, Spektrum Akademischer Verlag, 2012

Inhalt:

Die Auswahl der behandelten numerischen Verfahren enthält Polynominterpolation, Newton-Cotes-Formeln zur numerische Integration und Euler-Verfahren für lineare Differentialgleichungen.

Studierende der Mathematik (Monobachelor und Lehramt) und Bioinformatik, sowie Numerikinteressierte aus Physik, Informatik und anderen Natur- und Geisteswissenschaften.

Content

0. Additions to Analysis I.
1. Basic topological notions.
2. Normed and metric spaces. Convergence
3. Continuity, compactness.
4. Differential calculus in several variables. Partial, total and continuous diferentiability.
5. Curves and integrals over curves.
6. Theorem on the inverse function. The implicit function theorem.

On the Homepage you will find detailed Information of our research seminar.

Contents:

• Determinants
• Eigenvalues and eigenvectors: diagonalizability, trigonalizability, set of Cayley-Hamilton, Jordanian normal form
• Bilinear forms
• Vectorräume with scalar product: Euclidean, unitary vectorräume, orthogonal projection, isometries, self-adjusted images, Gram-Schmidt orthonormalization methods, major axis transformation

Prerequisites:
Linear Algebra I
Literature:

Will be mentioned in the lecture.

See http://page.mi.fu-berlin.de/werner99/.

numerical methods for best approximation problems, least squares problems, advanced methods for interpolation and numerical quadrature, numerical methods for eigenvalue problems and initial value problems for ordinary differential equations

* Stoer, Josef und Roland Bulirsch: Numerische Mathematik - eine Einführung, Band 1. Springer, Berlin, 2005, Aus dem FU-Netz auch online verfügbar. Link

* Hanke-Bourgeois, M. (2006) Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens. Mathematische Leitfäden. [Mathematical Text-books], second edn. Wiesbaden: B. G. Teubner, p. 840.

* Schwarz, H.-R. & Köckler, N. (2011) Numerische Mathematik., 8th ed. edn. Studium. Wiesbaden: Vieweg+Teubner, p. 591.

There will be lecture notes (only in German).

Content: The seminar will concern the discussion of state-of-art techniques in molecular simulation which allow for a simulation of several space (especially) and time scale within one computational approach.

The discussion will concerns both, specific computational coding and conceptual developments.

Related Basic Literature:

(1) M.Praprotnik, L.Delle Site and K.Kremer, Ann.Rev.Phys.Chem.59, 545-571 (2008)

(2) C.Peter, L.Delle Site and K.Kremer, Soft Matter 4, 859-869 (2008).

(3) M.Praprotnik and L.Delle Site, in "Biomolecular Simulations: Methods and Protocols" L.Monticelli and E.Salonen Eds. Vol.924, 567-583 (2012) Methods Mol. Biol. Springer-Science

Audience: At least 6th semester with a background in statistical and quantum mechanics, Master students and PhD students (even postdocs) are welcome.

The goal of the seminar is for students to get introduced to beautiful and important proofs from all areas of mathematics for which deep mathematical knowledge is not necessary. In the seminar we will read and present different chapters of the celebrated book "Proofs from THE BOOK" by Martin Aigner and Günter Ziegler. It is to our advantage that the book is available in multiple languages and is written in a very accessible way.
The plan is to meet once a week. Each weak there will be a talk from one of the students.
Further details will be discussed on the first meeting.

-- Literature --

Deutsche Version:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-02259-3

English Version:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57265-8

Aigner & Ziegler: Das Buch der Beweise.

Deutsche Version:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-02259-3

English Version:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57265-8

Students present recent papers on topics in dynamical systems.

Ordinary differential equations arise in many applications from physics, chemistry, biology or economics. This seminar extends the topics that were covered in the Analysis III course, e.g., eigenvalue problems and stability theory will be addressed. 

Content:  The goal of the course is the practical implementation and realization of stochastic models and methods. We will learn algorithms and statistical methods with applications in the "real world" and students will implement them and try them out on datasets if necessary. Concrete contents will be mentioned beforehand on the seminar website.

The seminar will be held as a block course. In the first three weeks there will be three lectures explaining basics of the implementation of stochastic methods (random numbers, Monte Carlo simulation, descriptive statistics, simulation of stochastic processes). At the beginning of the semester, students will be given several projects to work on and implement by the end of the semester. In the last weeks of the semester, there will be several dates with short student presentations in which the project results will be presented.

Detailed Information can be found on the Homepage of the seminar.

Literatur wir in der Vorbesprechung bekanntgegeben.

Literature will be announced in the preliminary discussion

Target Group: The seminar is aimed at Master's students (level adjustment by choosing appropriate projects).
Prerequisites: Stochastics I. Parallel attendance of Stochastics II is recommended.

Function theory is a classical field of mathematics, which deals with the properties of complex-differentiable functions on the complex number plane and has connections to algebra, analysis, number theory and geometry.

The concept of complex differentiability restricts real-differentiable functions from R2 to R2 to angle-preserving images. We will discover that complex-differentiable functions are quite rigid objects, but they are endowed with many amazing analytical, geometric, and visual properties.

A major result discussed in this lecture is Cauchy's integral theorem which states that the integral of any complexly differentiable function along a closed path in the complex plane is zero. We will see many nice consequences of this result, e.g. Cauchy's integral formula, the residual theorem and a proof of the fundamental theorem of algebra, as well as modern graphical representation methods.

Literatur:

E. Freitag and R. Busam 'Complex analysis', (Springer) 2nd Edition 2009 (the original German version is called 'Funktionentheorie')

Contents:

• Construction of stochastic processes;
• conditional expectation;
• martingales in discrete time: convergence, stopping theorems, inequalities;
• convergence types in stochastics;
• uniform integrability;
• Markov chains in discrete and continuous time: recurrence and transience, invariant measures;
• convergence in distribution of stochatic processes;
• Brownian motion and invariance principle.

Detailed Information can be found on the Homepage of 19212901 Basismodul: Stochastics II.

• Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie
• Durrett: Probability. Theory and Examples.

Weitere Literatur wird im Lauf der Vorlesung bekannt gegeben.
Further literature will be given during the lecture.

Prerequisite: Stochastics I  and  Analysis I — III.

Inhalt

• This course is the sequel of the course of Stochastics I. The main objective is to go beyond the first principles in probability theory by introducing the general language of measure theory, and the application of this framework in a wide variety of probabilistic scenarios.
  More precisely, the course will cover the following aspects of probability theory:
• Measure theory and the Lebesgue integral
• Convergence of random variables and 0-1 laws
• Generating functions: branching processes and characteristic functions
• Markov chains
• Introduction to martingales

Inhalt

Diese Vorlesung für das Bachelorstudium soll als natürliche Fortsetzung von Lineare Algebra I und II Fundamente legen für Vorlesungen/Zyklen wie Diskrete Geometrie, Algebraische Geometrie und Differenzialgeometrie.

Sie behandelt grundlegende Modelle der Geometrie, insbesondere

euklidische, affine, sphärische, projektive und hyperbolische Geometrie,Möbiusgeometrie, Polarität und Dualität Strukturgruppen, Messen (Längen, Winkel, Volumina), explizite Berechnungen und Anwendungen, Beispiele sowie Illustrationsthemen;

Dabei werden weitere Bezüge hergestellt, zum Beispiel zur Funktionentheorie und zur Numerik.

Literatur

1. Marcel Berger. Geometry I
2. David A. Brannan, Matthew F. Esplen, and Jeremy J. Gray. Geometry
3. Gerd Fischer. Analytische Geometrie
4. V.V. Prasolov und V.M. Tikhomirov. Geometry

Qualification goals

The students can analyze algorithms and data structures and their implementations with respect to running time, space requirements, and correctness. The students can describe different algorithms and data structures for typical applications and know how to use them in concrete settings. They can choose appropriate algorithms and data structures for a given task and are able to adapt them accordingly. Students can explain, identify and use different paradigms for designing new algorithms.

Contents

• abstract machine models
• running time, correctness and space requirements
• worst-case analysis
• algorithms and randomness
• algorithmic paradigms: divide and conquer, greedy, dynamic programming, exhaustive search
• priority queues
• ordered and unordered dictionaries (e.g., search trees, hash tables, skiplists)
• algorithms for strings (string searching and radix trees)
• graph algorithms 

• P. Morin: Open Data Structures, an open content textboox.
• T. H. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein: Introduction to Algorithms, MIT Press, 2022.
• R. Sedgewick, K. Wayne: Algorithms, Addison-Wesley, 2011.
• M. Dietzfelbinger, K. Mehlhorn, P. Sanders. Algorithmen und Datenstrukturen: Die Grundwerkzeuge, Springer, 2014.
• J. Erickson. Algorithms, 2019
• T. Roughgarden. Algorithms Illuminated. Cambridge University Press, 2022.

Leitidee

Ziel der Veranstaltung ist es, einen Überblick über die Bedeutung und Anwendbarkeit diverser mathematischer Gebiete im Kontext von Nachhaltigkeit zu bekommen. Ferner soll dies anhand kleinerer Probleme selbst angewendet werden können. Mathematik ist bekanntermaßen überall und besitzt eine hohe gesellschaftliche Relevanz. Insbesondere im Kontext Nachhaltigkeit sollten wir als mathematische Community Verantwortung übernehmen, einen lebenswerten Planeten zu erhalten und unsere Erkenntnisse, Methoden, Verfahren etc. gemeinwohlorientiert einzusetzen. Dies involviert auch die Aufbereitung und Kommunikation der behandelten mathematischen Themenbereiche.

Inhaltliche Schwerpunkte

Wir werden eine Einführung in die vier mathematischen Bereiche Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme geben.  Mittels mathematischer Modellierung werden wir identifizieren, wie diese Bereiche zum Verständnis und mit Lösungsansätzen zu Klimakrise, Verlust von Biodiversität, Ressourcenverknappung und sozialer Ungleichheit beitragen.

Methodische Konzeption

Diese Veranstaltung wird durch ein zeitgemäßes didaktisches Konzept begleitet. Dazu gehört unter anderem student agency und co-agency. Dies bedeutet, dass Lernende Verantwortung für ihren Lernerfolg und Kompetenzzuwachs übernehmen, dabei aber natürlich nicht auf sich alleine gestellt sind, sondern auf diverse inhaltliche bzw. methodische Ressourcen zurückgreifen können.

Grundsätzlich gliedert sich die Veranstaltung in zwei wöchentliche Blöcke:

• Donnerstag 10–12 Uhr
  Die Vorlesungstermine dienen der kompakten Aufbereitung mathematischer Gebiete und bilden damit die fundamentale Grundlage für die Projektarbeit. Wir geben damit einen Einblick in diverse mathematische Gebiete und ihrem Anwendungsbezug.
• Montag 10 – 14 Uhr
  Die Projektarbeitsphase dient dem agilen Arbeiten in Kleingruppen, welche über das Semester verteilt mehrere Anwendungen von Mathematik in SDG-Kontext erarbeiten und aufbereiten. Dabei wird sich an der Methode eduSCRUM orientiert, um über das Semester verteilt in mehreren agilen Sprints über jeweils 2-3 Wochen fokussiert zu arbeiten. Erfahrungen im agilen Arbeiten werden nicht vorausgesetzt, hierzu gibt es eine methodische Prozessbegleitung. Die erarbeiteten Anwendungsszenarien sollen dabei jeweils passend zu den vier inhaltlichen Themenblöcken der Veranstaltung gestaltet werden, wobei die Kleingruppen durch den Einbau partizipativer Elemente an diversen Stellen Gestaltungsspielraum haben.

Lernziele

Die übergeordneten Lernziele dieser Veranstaltung verteilen sich auf fünf Bereiche: Mathematische Grundlagen verstehen und anwenden, Mathematische Modelle anwenden, Modelle beurteilen, Kommunikation von Mathematik im SDG-Kontext & Reflexion des eigenen Lernprozesses.

Nach erfolgreicher Teilnahme an der Veranstaltung haben Teilnehmer*innen die folgenden Kompetenzen erlangt:

• Sie verstehen die Bedeutung grundlegender mathematischer Konzepte und Verfahren (aus Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme). Insbesondere können sie die Terminologie und mathematischen Aussagen präzise erklären und Anwendungsgebiete anhand ausgewählter inner- und außermathematischer Problemstellungen erläutern.
• Sie können mathematische Modelle nutzen, um reale Fragestellungen zu beschreiben und zu analysieren.  Dabei können sie verschiedene mathematische Werkzeuge und Techniken verwenden, um qualitative und quantitative Aussagen über die Auswirkungen von Entscheidungen und Maßnahmen zu treffen.
• Sie können die Gültigkeit, Angemessenheit und Grenzen mathematischer Modelle beurteilen, indem sie etwa Modellannahmen, verwendete Daten oder Sensitivität der Ergebnisse analysieren, um fundierte Entscheidungen über die Nutzung dieser Modelle im Bereich nachhaltiger Entwicklung zu treffen.
• Die Ergebnisse mathematischer Analysen und Modelle können klar und prägnant an verschiedene Zielgruppen unter Nutzung verschiedener Medien und Formate kommuniziert werden. Dies geschieht mit dem Ziel, das gesellschaftliche Bewusstsein für die Bedeutung von Mathematik für BNE sowie transformative Prozesse zu fördern.
• Sie können die eigenen Lernerfahrungen reflektieren, indem sie individuelle Stärken, Lernstrategien, Einstellungen zur Mathematik und ihr mathematisches Selbstkonzept analysieren, um ihre mathematischen Kompetenzen weiterzuentwickeln und so später ihre Rolle als mündige und verantwortungsvolle Bürger*innen in der Gesellschaft auszufüllen.

Formalia & Organisatorisches

a) Für die regelmäßige Teilnahme ist regelmäßig und in Präsenz an den Terminen montags 10-14 Uhr teilzunehmen.

b) Die aktive Teilnahme an der Projektarbeit besteht aus mehreren Aspekten, die über das Semester verteilt in Kleingruppen bearbeitet werden:

• Im Rahmen der eduSCRUM-Sprints sollen in den Gruppen vier Anwendungsszenarien erarbeitet werden, wobei mindestens drei der vier Themenblöcke abgedeckt werden sollen.
• Um die Qualität der erarbeiteten Anwendungsszenarien zu sichern, führen die Gruppen untereinander ein Peer-Review-Verfahren durch.
• Dazu werden kleinere reale Probleme als Aufhänger und Ausgangspunkt für die Gruppenarbeit ausgewählt.
• Wöchentlich wird eine kleine mathematische Aufgabe als Challenge veröffentlicht. Jede Gruppe wird dabei eines der Probleme aus dem jeweiligen Themenblock lösen.

c) Modulabschlussprüfung: Die Veranstaltung kann entweder als „Mathematisches Projekt“ oder alternativ als mathematisch Spezial- bzw. Vertiefungsvorlesung belegt werden. (Dies geschieht, um Ihnen bei Interesse am Thema „Mathematik und Nachhaltigkeit“ größtmögliche Flexibilität und Anrechenbarkeit zu ermöglichen.) Beide Module entsprechen vom Workload-Umfang 10 LP, unterscheiden sich jedoch minimal in der Abschlussprüfung.

• Mathematisches Projekt: Aufbauend auf Ihrer in Kleingruppen erfolgten Projektarbeiten findet am Ende ein ca. halbstündiger Vortrag zu einem mathematischen Thema statt. Die Themen werden einige Tage vor der Prüfung zugeteilt, sodass Sie sich als Gruppe vorbereiten können. Zusätzlich zum Vortrag schreiben Sie eine Ausarbeitung im Umfang von ca. 2.500 Wörtern, in der u.a. Ihr persönlicher Beitrag zur Projektarbeit vorgestellt und reflektiert wird. Details zum Aufbau der schriftlichen Ausarbeitung werden in der Lehrveranstaltung bekanntgegeben.
• Vertiefungsvorlesung: Je nachdem, wie viele Studierende welchen Schein absolvieren möchten, werden wir für dieses Modulabschlussprüfungen eine Klausur oder mündliche Einzelprüfungen durchführen. Die Details werden bekanntgegeben, sobald bekannt ist, wie viele Studierende sich für welches Modul eingeschrieben haben.

Weitere Hinweise

Hinweis für Lehramts-Masterstudierende: Ergänzend zu dieser Veranstaltung findet ein fachdidaktisches Vertiefungsseminar (LV 19230015) statt. Dort werden digitale offene Bildungsmaterialien (OER) erstellt, mit denen die Bedeutung der Mathematik zur Erreichung der 17 Sustainable Development Goals vermittelt werden kann.

Leitidee

Ziel der Veranstaltung ist es, einen Überblick über die Bedeutung und Anwendbarkeit diverser mathematischer Gebiete im Kontext von Nachhaltigkeit zu bekommen. Ferner soll dies anhand kleinerer Probleme selbst angewendet werden können. Mathematik ist bekanntermaßen überall und besitzt eine hohe gesellschaftliche Relevanz. Insbesondere im Kontext Nachhaltigkeit sollten wir als mathematische Community Verantwortung übernehmen, einen lebenswerten Planeten zu erhalten und unsere Erkenntnisse, Methoden, Verfahren etc. gemeinwohlorientiert einzusetzen. Dies involviert auch die Aufbereitung und Kommunikation der behandelten mathematischen Themenbereiche.

Inhaltliche Schwerpunkte

Wir werden eine Einführung in die vier mathematischen Bereiche Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme geben.  Mittels mathematischer Modellierung werden wir identifizieren, wie diese Bereiche zum Verständnis und mit Lösungsansätzen zu Klimakrise, Verlust von Biodiversität, Ressourcenverknappung und sozialer Ungleichheit beitragen.

Methodische Konzeption

Diese Veranstaltung wird durch ein zeitgemäßes didaktisches Konzept begleitet. Dazu gehört unter anderem student agency und co-agency. Dies bedeutet, dass Lernende Verantwortung für ihren Lernerfolg und Kompetenzzuwachs übernehmen, dabei aber natürlich nicht auf sich alleine gestellt sind, sondern auf diverse inhaltliche bzw. methodische Ressourcen zurückgreifen können.

Grundsätzlich gliedert sich die Veranstaltung in zwei wöchentliche Blöcke:

• Donnerstag 10–12 Uhr
  Die Vorlesungstermine dienen der kompakten Aufbereitung mathematischer Gebiete und bilden damit die fundamentale Grundlage für die Projektarbeit. Wir geben damit einen Einblick in diverse mathematische Gebiete und ihrem Anwendungsbezug.
• Montag 10 – 14 Uhr
  Die Projektarbeitsphase dient dem agilen Arbeiten in Kleingruppen, welche über das Semester verteilt mehrere Anwendungen von Mathematik in SDG-Kontext erarbeiten und aufbereiten. Dabei wird sich an der Methode eduSCRUM orientiert, um über das Semester verteilt in mehreren agilen Sprints über jeweils 2-3 Wochen fokussiert zu arbeiten. Erfahrungen im agilen Arbeiten werden nicht vorausgesetzt, hierzu gibt es eine methodische Prozessbegleitung. Die erarbeiteten Anwendungsszenarien sollen dabei jeweils passend zu den vier inhaltlichen Themenblöcken der Veranstaltung gestaltet werden, wobei die Kleingruppen durch den Einbau partizipativer Elemente an diversen Stellen Gestaltungsspielraum haben.

Lernziele

Die übergeordneten Lernziele dieser Veranstaltung verteilen sich auf fünf Bereiche: Mathematische Grundlagen verstehen und anwenden, Mathematische Modelle anwenden, Modelle beurteilen, Kommunikation von Mathematik im SDG-Kontext & Reflexion des eigenen Lernprozesses.

Nach erfolgreicher Teilnahme an der Veranstaltung haben Teilnehmer*innen die folgenden Kompetenzen erlangt:

• Sie verstehen die Bedeutung grundlegender mathematischer Konzepte und Verfahren (aus Optimierung, Spieltheorie, Statistik, Dynamische Systeme). Insbesondere können sie die Terminologie und mathematischen Aussagen präzise erklären und Anwendungsgebiete anhand ausgewählter inner- und außermathematischer Problemstellungen erläutern.
• Sie können mathematische Modelle nutzen, um reale Fragestellungen zu beschreiben und zu analysieren.  Dabei können sie verschiedene mathematische Werkzeuge und Techniken verwenden, um qualitative und quantitative Aussagen über die Auswirkungen von Entscheidungen und Maßnahmen zu treffen.
• Sie können die Gültigkeit, Angemessenheit und Grenzen mathematischer Modelle beurteilen, indem sie etwa Modellannahmen, verwendete Daten oder Sensitivität der Ergebnisse analysieren, um fundierte Entscheidungen über die Nutzung dieser Modelle im Bereich nachhaltiger Entwicklung zu treffen.
• Die Ergebnisse mathematischer Analysen und Modelle können klar und prägnant an verschiedene Zielgruppen unter Nutzung verschiedener Medien und Formate kommuniziert werden. Dies geschieht mit dem Ziel, das gesellschaftliche Bewusstsein für die Bedeutung von Mathematik für BNE sowie transformative Prozesse zu fördern.
• Sie können die eigenen Lernerfahrungen reflektieren, indem sie individuelle Stärken, Lernstrategien, Einstellungen zur Mathematik und ihr mathematisches Selbstkonzept analysieren, um ihre mathematischen Kompetenzen weiterzuentwickeln und so später ihre Rolle als mündige und verantwortungsvolle Bürger*innen in der Gesellschaft auszufüllen.

Formalia & Organisatorisches

a) Für die regelmäßige Teilnahme ist regelmäßig und in Präsenz an den Terminen montags 10-14 Uhr teilzunehmen.

b) Die aktive Teilnahme an der Projektarbeit besteht aus mehreren Aspekten, die über das Semester verteilt in Kleingruppen bearbeitet werden:

• Im Rahmen der eduSCRUM-Sprints sollen in den Gruppen vier Anwendungsszenarien erarbeitet werden, wobei mindestens drei der vier Themenblöcke abgedeckt werden sollen.
• Um die Qualität der erarbeiteten Anwendungsszenarien zu sichern, führen die Gruppen untereinander ein Peer-Review-Verfahren durch.
• Dazu werden kleinere reale Probleme als Aufhänger und Ausgangspunkt für die Gruppenarbeit ausgewählt.
• Wöchentlich wird eine kleine mathematische Aufgabe als Challenge veröffentlicht. Jede Gruppe wird dabei eines der Probleme aus dem jeweiligen Themenblock lösen.

c) Modulabschlussprüfung: Die Veranstaltung kann entweder als „Mathematisches Projekt“ oder alternativ als mathematisch Spezial- bzw. Vertiefungsvorlesung belegt werden. (Dies geschieht, um Ihnen bei Interesse am Thema „Mathematik und Nachhaltigkeit“ größtmögliche Flexibilität und Anrechenbarkeit zu ermöglichen.) Beide Module entsprechen vom Workload-Umfang 10 LP, unterscheiden sich jedoch minimal in der Abschlussprüfung.

• Mathematisches Projekt: Aufbauend auf Ihrer in Kleingruppen erfolgten Projektarbeiten findet am Ende ein ca. halbstündiger Vortrag zu einem mathematischen Thema statt. Die Themen werden einige Tage vor der Prüfung zugeteilt, sodass Sie sich als Gruppe vorbereiten können. Zusätzlich zum Vortrag schreiben Sie eine Ausarbeitung im Umfang von ca. 2.500 Wörtern, in der u.a. Ihr persönlicher Beitrag zur Projektarbeit vorgestellt und reflektiert wird. Details zum Aufbau der schriftlichen Ausarbeitung werden in der Lehrveranstaltung bekanntgegeben.
• Vertiefungsvorlesung: Je nachdem, wie viele Studierende welchen Schein absolvieren möchten, werden wir für dieses Modulabschlussprüfungen eine Klausur oder mündliche Einzelprüfungen durchführen. Die Details werden bekanntgegeben, sobald bekannt ist, wie viele Studierende sich für welches Modul eingeschrieben haben.

Weitere Hinweise

Hinweis für Lehramts-Masterstudierende: Ergänzend zu dieser Veranstaltung findet ein fachdidaktisches Vertiefungsseminar (LV 19230015) statt. Dort werden digitale offene Bildungsmaterialien (OER) erstellt, mit denen die Bedeutung der Mathematik zur Erreichung der 17 Sustainable Development Goals vermittelt werden kann.

Content:

Selection from the following topics:

• Enumeration (twelvefold way, inclusion-exclusion, double counting, recursions, generating functions, inversion, Ramsey's Theorem, asymptotic counting)
• Discrete Structures (graphs, set systems, designs, posets, matroids)
• Graph Theory (trees, matchings, connectivity, planarity, colorings)

• J. Matousek, J. Nesetril (2002/2007): An Invitation to Discrete Mathematics, Oxford University Press, Oxford/Diskrete Mathematik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg.
• L. Lovasz, J. Pelikan, K. Vesztergombi (2003): Discrete Mathemtics - Elementary and Beyond/Diskrete Mathematik, Springer Verlag, New York.
• N. Biggs (2004): Discrete Mathematics. Oxford University Press, Oxford.
• M. Aigner (2004/2007): Diskrete Mathematik, Vieweg Verlag, Wiesbaden/Discrete Mathemattics, American Mathematical Society, USA.
• D. West (2011): Introduction to Graph Theory. Pearson Education, New York.

Target group:

BMS students, Master and Bachelor students

Content:

Selection from the following topics:

• Counting (basics, double counting, Pigeonhole Principle, recursions, generating functions, Inclusion-Exclusion, inversion, Polya theory)
• Discrete Structures (graphs, set systems, designs, posets, matroids)
• Graph Theory (trees, matchings, connectivity, planarity, colorings)
• Algorithms (asymptotic running time, BFS, DFS, Dijkstra, Greedy, Kruskal, Hungarian, Ford-Fulkerson)

Welcome to the university and in the exciting field of mathematics! You chose a challenging degree course, which offers you unlimited possibilities. Mathematics is the language of the universe, and studying it means to decipher the secrets behind everything, from the movement of the stars to the software in your smartphones.

In Analysis I you will get acquainted with the basics of mathematics, from natural numbers to more complex topics like differentiation and integration. From optimizing flows of traffic, to understanding financial markets, to developing new technologies -- the abilities that you gain here have real, tangible applications that go far beyond the lecture hall.

The importance of the tutorials and of Zentralübung can’t be stressed enough. In the tutorials you will not only discuss the exercises, but also learn how to explain mathematical concepts to others -- an essential ability in mathematics and beyond. In the Zentralübung we will discuss your questions informally and in an interactive way, which is necessary for a comprehensive understanding.

Good luck on your journey to success!

Literature:

• Bröcker, Theodor: Analysis 1, Spektrum der Wissenschaft-Verlag.
• Forster, Otto: Analysis 1, Vieweg-Verlag.
• Spivak, Michael: Calculus, 4th Edition.

Viele Analysis Bücher sind auch über die Fachbibliothek der FU Berlin elektronisch verfügbar.

Bei Schwierigkeiten mit den Grundbegriffen Menge, Abbildung etc. ist die folgende Ausarbeitung empfehlenswert:

• Scheerer, Hans: Brückenkurs, Skript FU Berlin 2006.

Content

0. Additions to Analysis I.
1. Basic topological notions.
2. Normed and metric spaces. Convergence
3. Continuity, compactness.
4. Differential calculus in several variables. Partial, total and continuous diferentiability.
5. Curves and integrals over curves.
6. Theorem on the inverse function. The implicit function theorem.

On the Homepage you will find detailed Information of our research seminar.

Content:

• Basic terms/concepts: sets, maps, equivalence relations, groups, rings,
• fields
• Linear equation systems: solvability criteria, Gauss algorithm
• Vector spaces: linear independence, generating systems and bases, dimension,
• subspaces, quotient spaces, cross products in R3
• Linear maps: image and rank, relationship to matrices, behaviour under
• change of basis
• Dual vector spaces: multilinear forms, alternating and symmetric bilinear
• forms, relationship to matices, change of basis
• Determinants: Cramer's rule, Eigenvalues and Eigenvectors

Prerequisites:

Participation in the preparatory course (Brückenkurs) is highly recommended.

• Siegfried Bosch, Lineare Algebra, 4. Auflage, Springer-Verlag, 2008;
• Gerd Fischer, Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Springer-Verlag, 2017;
• Bartel Leendert van der Waerden, Algebra Volume I, 9th Edition, Springer 1993;

Zu den Grundlagen

• Kevin Houston, Wie man mathematisch denkt: Eine Einführung in die mathematische Arbeitstechnik für Studienanfänger, Spektrum Akademischer Verlag, 2012

Contents:

• Determinants
• Eigenvalues and eigenvectors: diagonalizability, trigonalizability, set of Cayley-Hamilton, Jordanian normal form
• Bilinear forms
• Vectorräume with scalar product: Euclidean, unitary vectorräume, orthogonal projection, isometries, self-adjusted images, Gram-Schmidt orthonormalization methods, major axis transformation

Prerequisites:
Linear Algebra I
Literature:

Will be mentioned in the lecture.

See http://page.mi.fu-berlin.de/werner99/.

Inhalt:

Die Auswahl der behandelten numerischen Verfahren enthält Polynominterpolation, Newton-Cotes-Formeln zur numerische Integration und Euler-Verfahren für lineare Differentialgleichungen.

Studierende der Mathematik (Monobachelor und Lehramt) und Bioinformatik, sowie Numerikinteressierte aus Physik, Informatik und anderen Natur- und Geisteswissenschaften.

numerical methods for best approximation problems, least squares problems, advanced methods for interpolation and numerical quadrature, numerical methods for eigenvalue problems and initial value problems for ordinary differential equations

* Stoer, Josef und Roland Bulirsch: Numerische Mathematik - eine Einführung, Band 1. Springer, Berlin, 2005, Aus dem FU-Netz auch online verfügbar. Link

* Hanke-Bourgeois, M. (2006) Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens. Mathematische Leitfäden. [Mathematical Text-books], second edn. Wiesbaden: B. G. Teubner, p. 840.

* Schwarz, H.-R. & Köckler, N. (2011) Numerische Mathematik., 8th ed. edn. Studium. Wiesbaden: Vieweg+Teubner, p. 591.

There will be lecture notes (only in German).

Inhalt: Auswahl aus folgenden Themen:

• Exponentialabbildung und der Satz von Hopf-Rinow
• Zusammenhänge zwischen Krümmung und Topologie (z. B. Satz von Myers, Hadamard-Cartan, Klingenberg, Starrheitssätze)
• geschlossene Geodäten
• Satz von Stokes, Kohomologie
• Räume konstanter Krümmung, Lie-Gruppen und homogene Räume
• konforme Geometrie, geometrische Evolutionsgleichungen und Differentialgleichungen aus der geometrischen Analysis
• Grundbegriffe aus der Differentialtopologie

Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben.

In this seminar, differential geometric topics will be independently developed based on current research and presented in the form of a talk.

Particular emphasis is placed on the concrete implementation of differential geometric concepts in application scenarios and the questions of discretization and implementation.

Learning objectives are a deeper understanding of differential geometry concepts, as well as problems and solution strategies in their practical use.

Previous knowledge: Differential geometry I

Content:

Selection from the following topics:

• Enumeration (twelvefold way, inclusion-exclusion, double counting, recursions, generating functions, inversion, Ramsey's Theorem, asymptotic counting)
• Discrete Structures (graphs, set systems, designs, posets, matroids)
• Graph Theory (trees, matchings, connectivity, planarity, colorings)

• J. Matousek, J. Nesetril (2002/2007): An Invitation to Discrete Mathematics, Oxford University Press, Oxford/Diskrete Mathematik, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg.
• L. Lovasz, J. Pelikan, K. Vesztergombi (2003): Discrete Mathemtics - Elementary and Beyond/Diskrete Mathematik, Springer Verlag, New York.
• N. Biggs (2004): Discrete Mathematics. Oxford University Press, Oxford.
• M. Aigner (2004/2007): Diskrete Mathematik, Vieweg Verlag, Wiesbaden/Discrete Mathemattics, American Mathematical Society, USA.
• D. West (2011): Introduction to Graph Theory. Pearson Education, New York.

Target group:

BMS students, Master and Bachelor students

Content:

Selection from the following topics:

• Counting (basics, double counting, Pigeonhole Principle, recursions, generating functions, Inclusion-Exclusion, inversion, Polya theory)
• Discrete Structures (graphs, set systems, designs, posets, matroids)
• Graph Theory (trees, matchings, connectivity, planarity, colorings)
• Algorithms (asymptotic running time, BFS, DFS, Dijkstra, Greedy, Kruskal, Hungarian, Ford-Fulkerson)

Inhalt:

This is the second in a series of three courses on discrete geometry. The aim of the course is a skillful handling of discrete geometric structures with an emphasis on metric and convex geometric properties. In the course we will develop central themes in metric and convex geometry including proof techniques and applications to other areas in mathematics.

The material will be a selection of the following topics:
Linear programming and some applications

• Linear programming and duality
• Pivot rules and the diameter of polytopes

Subdivisions and triangulations

• Delaunay and Voronoi
• Delaunay triangulations and inscribable polytopes
• Weighted Voronoi diagrams and optimal transport

Basic structures in convex geometry

• convexity and separation theorems
• convex bodies and polytopes/polyhedra
• polarity
• Mahler’s conjecture
• approximation by polytopes

Volumes and roundness

• Hilbert’s third problem
• volumes and mixed volumes
• volume computations and estimates
• Löwner-John ellipsoids and roundness
• valuations

Geometric inequalities

• Brunn-Minkowski and Alexandrov-Fenchel inequality
• isoperimetric inequalities
• measure concentration and phenomena in high-dimensions

Geometry of numbers

• lattices
• Minkowski's (first) theorem
• successive minima
• lattice points in convex bodies and Ehrhart's theorem
• Ehrhart-Macdonald reciprocity

Sphere packings

• lattice packings and coverings
• the Theorem of Minkowski-Hlawka
• analytic methods

Applications in optimization, number theory, algebra, algebraic geometry, and functional analysis

The course will use material from P. M. Gruber, " Convex and Discrete Geometry" (Springer 2007) and various other sources. There will be brief lecture notes available for course participants with detailed pointers to the literature.

Solid background in linear algebra and some analysis. Basic knowledge and experience with polytopes and/or convexity (as from the course "Discrete Geometry I") will be helpful. .

This lecture is an introdution to integer programming.

Contents

Week 1 (Integer Programming Problems): Introduction, Definitions, Examples, Total Unimodularity

Week 2 (Branch-and-Bound): LP relaxation, tree search

Week 3 (relaxations): Lower bounds, Lagrangian relaxation

Week 4 (Primal Heuristics): Opening and improvement heuristics, approximation, examples

Week 5 (Integer Points in Rational Polyhedra): Integer Polyhedra, Integer Points in Rational Polyhedra, Complexity

Week 6 (Cutting Plane Theory): Elementary Closure, Rank

Week 7 (Cutting Plane Method for IPs): Gomory Cuts of Type I

Week 8 (Cutting Plane Procedure for MIPs): Gomory Cuts of Type II

Week 9 (Polyhedral Combinatorics): Matroid Polytope

Week 10 (Polyhedral Combinatorics): Matching Polytope

Week 11 (Polyhedral Combinatorics): TSP Polytope

Week 12 (General Cutting Plane Method): Equivalence of Separation and Optimization

Week 13 (Section Plane Procedure): Implementation (Tricks)

Week 14: Exam

G. Nemhauser, L. Wolsey, Integer and Combinatorial Optimization, Wiley 1988

L. Schrijver, Combinatorial Optimization, Springer 2003

B. Korte, J. Vygen, Combinatorial Optimization, Springer 2018

V. Chvátal, Linear Programming, Freeman 1983

Requirements

Discrete Mathematics I and II

Videos

In Vbrick Rev via https://fu-berlin.eu.vbrickrev.com/#/playlist/fd62388d-d18c-45a8-9a98-30adb0dee4b4/videos/.

Related lectures

In addition to the exercise, an additional integrated event "Practice of integer programming" is offered. This course is recommended, but not mandatory for participation in the lecture.

Content:
The seminar covers advanced topics in Arithmetic Combinatorics. The main topic will be recent advances on arithmetic progression-free subsets of the integers.
Target audience:
BMS students, Master students, or advanced Bachelor students.
Prerequisites:
Prerequisite is the successful completion of the modul Discrete Mathematics II or III (or equivalent background: please contact the instructor).

let's see

Themenvergabe und speziellere Literaturangaben in der Vorbesprechung zum Seminar.

This lecture will continue the introduction to algebraic topology. The course will cover a selection from the following topics

• homotopy sets, homotopy groups and the Hurewicz theorem
• fibrations and cofibrations
• bundles and classifying spaces

The methods presented are illustrated by applications to various classical problems in algebraic topology.

Books that can be used for some of these topics include:

1. G. Bredon: Topology and geometry, Springer GTM 139,
2. T. tom Dieck: Algebraic topology, EMS 2008
3. P. May: A concise course in algebraic topology, Chicago Lecture Notes in Mathematics, UChicago Press 1999
4. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-theory, online book
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html

The mathematical modeling of many processes in nature and industry leads to partial differential equations. Generally, such equations cannot be solved analytically. It is only possible to compute numerical approximations to the solution on the basis of discretized equations. This course studies discretizations of elliptic partial differential equations. Major topics are finite difference methods and finite element methods.

• F. John: Partial Differential Equations. Springer (1982)
• M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer, 2. Auflage (2004)
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Numerische Mathematik 2. Springer (2002)
• D. Braess: Finite Elemente. Springer, 3. Auflage (2002)
• P. A. Raviart, J. M. Thomas: Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Dunod (1998)

Prerequisites

Prerequisites for this course are basic knowledge in calculus (Analysis I-III) and Numerical Analysis (Numerik I). Some knowledge in Functional Analysis will help a lot.

Homepage:Wiki der Numerik II

Inhalt:

Abstract:

Modeling, Simulation, and Optimization (MSO) is one of the cornerstones of application-oriented mathematics.

It covers a broad spectrum of research activities, ranging from the design of mathematical models for real-world processes, via efficient numerical simulation algorithms, to the solution of optimization problems for finding optimal scenarios or controls for the process under consideration. This lecture will give an overview over the techniques used in MSO and its application in different areas (life science, mobility, energy, sustainability, …). The lecture will be complemented by several pilot projects in which student groups will develop MSO solutions for realistic (but not too complex) application problems.

Zielpublikum:
Master Mathematik

• Brokate and J. Sprekels: Hysteresis and Phase Transitions. Springer (1996)
• K. Deckelnick, G. Dziuk, and Ch.M. Elliott: Computation of geometric partial differential equations and mean curvature flow. Acta Numerica, p. 1-94 (2005)
• G. Dziuk and Ch.M. Elliott: Finite elements on evolving surfaces. IMA J. Numer. Anal. 27, p. 262-292 (2007)
• J.A. Sethian: Level Set Methods and Fast Marching Methods, CambridgeUniversity Press (1999)
• T.J. Willmore: Riemannian Geometry, Clarendon, Oxford (1993)
• Winkelmann, Stefanie, and Christof Schütte. Stochastic dynamics in computational biology. Vol. 645. Berlin/Heidelberg, Germany: Springer, 2020.

Content:

Mathematics plays a central role in the development and analysis of models for weather prediction. Controlled physical experiments are out of question, and the only way we can study Earth’s weather and climate system is through mathematical models, computational experiments, and data analysis.

Fluctuations in daily weather are tightly connected to turbulence, and turbulence represents a challenge for the predictability of weather. No general solution for the equations of fluid motion is known, and consequently no general solutions to problems in turbulent flows are available. Instead, scientists rely on conceptual models and statistical descriptions to understand the essence of daily weather and how that feeds back on climate behavior.

This course/seminar focuses on techniques of mathematical modeling that assist scientists in exploring the listed issues systematically.

The course will cover a selection from the following topics

1. Conservation laws and governing equations,

2. Numerical methods for geophysical flow simulations,

3. Dynamical systems and bifurcation theory,

4. Data-based characterization of atmospheric flows

Literaturhinweise werden anfangs des Semesters in Abhängigkeit von
der Themenauswahl gegeben.  

Interessante Startpunkte, die einen ersten Einstieg in obige drei
Hauptpunkte erlauben, sind  

Klein R.,
Scale-Dependent Asymptotic Models for Atmospheric Flows,
Ann. Rev. Fluid Mech., vol. 42, 249-274 (2010)

D. Durran, 
Numerical Methods for Fluid Dynamics with Applications to Geophysics, 
Springer, Computational Science and Engineering Series, (2010)

Metzner Ph., Putzig L., Horenko I.,
Analysis of persistent nonstationary time series and applications
Comm. Appl. Math. & Comput. Sci., vol. 7, 175-229 (2012)

Tennekes and Lumley, A first course in Turbulence, MIT Press (1974)

Markov chains are widely used to model stochastic behaviour across the sciences. In this course, we will focus on their application to model dynamical phenomena in the natural and engineering sciences. In the first half of the course, we will study the stationary and spectral properties of discrete Markov chains and how they can be used to analyse the long-time behaviour of the chain. In the second half, we will learn how to construct continuous Markov chains to sample complex probability distributions, and how to construct suitable discrete models for their approximation.

Discrete Markov Chains
- introduction and basic properties
- stationary vectors and return times
- spectral decomposition, reversible chains
- Perron cluster analysis
- committors and transition path theory

Modeling with Markov Chains
- Markov chains on continuous space
- sampling and Markov chain Monte Carlo
- Markov state models (MSMs)
- MSM estimation based on maximum likelihood
- error analysis

Master students of Mathematics and Physics

Markov chains are a universal tool to model real-world processes, including financial markets, reaction kinetics and molecular dynamics.

Topics:

• Introduction to the theory of Markov chains
• Estimation of Markov chains from data
• Estimation uncertainty
• Transition path theory
• Analysis of Markov chains
• Spectral analysis
• Discretization of continuous Markov processes

The following books will be relevant:

• O. P. Le Maître and O. M. Knio. Spectral Methods for Uncertainty Quantification: With Applications to Computational Fluid Dynamics. Scientific Computation. Springer, New York, 2010.
• R. C. Smith. Uncertainty Quantification: Theory, Implementation, and Applications, volume 12 of Computational Science & Engineering. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2014.
• T. J. Sullivan. Introduction to Uncertainty Quantification. Springer, New York, in press.
• D. Xiu. Numerical Methods for Stochastic Computations: A Spectral Method Approach. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2010.

Reproducing kernels provide a powerful modelling and approximation framework, which have been widely applied to problems in science and technology. Rooted in functional analysis and approximation theory, kernels lead to a theoretical framework of surprising mathematical elegance on one hand, and to simple and robust algorithms on the other hand. In this course, we will learn about both theory and applications of kernel methods. Practical coding exercises will accompany the course.
 

Theoretical Concepts
- concepts from functional analysis
- introduction to reproducing kernel Hilbert spaces; fundamental properties
- examples
- Mercer integral operator and feature representation
- density and regularity properties of reproducing kernel Hilbert spaces; relation to Fourier transform
- error analysis and statistical learning theory
 

Applications
- support vector machine
- kernel PCA
- canonical correlation analysis and analysis of dynamical systems
- solution of partial differential equations

This lecture/lab course is suitable for Master students of Mathematics, Computer Science or Computational Sciences.
 

• Basic differential equations (Laplace,- heat and wave equations)
• Representation formulas
• Solution methods
• Introduction to Hilbert space methods

This can serve as the basis for a BSc and/or MSc project.  

L.C. Evans, Partial Differential Equations
 

Wird in der Vorlesung bekannt gegeben / to be announced.

Voraussetzungen: Partielle Differentialgleichungen I und II

This course gives an introduction to algebraic number theory. The main objects of study are number fields, i.e. finite extensions of the field of rational numbers. To a number field K we will attach its ring of integers. This ring is a Dedekind domain and we will see that one of its invariants is the class number, which measures "how far" the ring is away from being a unique factorization domain. We will also study finite extensions of number fields, and how the prime ideals behave in the associated extensions of the rings of integers.

Here is a rough outline of the course (subject to change):
1) Rings of integers
2) Basic properties of Dedekind domains
3) Minkowski's theory and finiteness of the class number
4) Dirichlet's Unit Theorem
5) Extensions of Dedekind domains and ramification theory

Nähere Angaben zum Programm der Vorlesung finden Sie hier:

http://www.mi.fu-berlin.de/users/kindler/teaching/zt-2-sose2015_de.html

• James Milne: Algebraic Number Theory (frei verfügbar hier )
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer Verlag (English translation also available)
• Alexander Schmidt: Einführung in die Algebraische Zahlentheorie

Prerequisites:

Algebra I

• Basic differential equations (Laplace,- heat and wave equations)
• Representation formulas
• Solution methods
• Introduction to Hilbert space methods

This can serve as the basis for a BSc and/or MSc project.  

L.C. Evans, Partial Differential Equations
 

Content:

Many problems in the sciences are determined by processes on several scales. Such problems are denoted as multi-scale problems. One example for a multi-scale problem is the partial differential equations (PDEs), which govern geophysical fluid flows. Averaging methods can be used for the analytical description of the slow scales. These descriptions are beneficial for numerical time-stepping schemes, as they allow for taking bigger time-steps than the unaveraged problem. The focus of this course will be on averaging methods for PDEs describing fluid flows and the design of parallelisable numerical time stepping methods, which are versions of the Parareal method and incorporate averaging techniques.

Requirements: basic courses in analysis, basic course numerical mathematics

Literature:

Wingate, B.A.; Rosemeier, J.; Haut, T., Mean Flow from Phase Averages in the 2D Boussinesq Equations. Atmosphere 2023, 14, 1523.
https://doi.org/10.3390/atmos14101523

T. Haut, B. Wingate,  An asymptotic parallel-in-time method for highly oscillatory pde's, SIAM Journal on Scientific Computing, 36 (2014), pp. A693-A713

J.-L. Lions, G. Turinici, A "parareal" in time discretization of PDE's, Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I - Mathematics, 332 (2001), pp. 661-668

Sanders, F. Verhulst, J. Murdock,  Averaging Methods in Nonlinear Dynamical Systems, Springer New York, NY, 2ed., 2000